答えはNOです！ すぐに強制退去とはなりません。  

明け渡し訴訟が開始されるまでには文書や口頭での家賃の督促や、内容証明郵便で賃貸借契約解除通知を行うなどの必要があります。
そして、強制退去をさせられてしまう強制執行も、明け渡し訴訟が確定してすぐに行われるものでもありません。 
【家賃滞納】〜【明け渡し訴訟】 【明け渡し訴訟】〜【強制執行】 までには一定の期間がかかります。  

家賃滞納から明け渡し訴訟を起こされるまでの平均期間と流れは下記の通りです。

（流れ） 

▼家賃滞納発生 

▼口頭や文書での家賃支払い督促通知が届く（約1ヶ月） 

▼保証人へ家賃支払い督促通知が届く （約1ヶ月～3ヶ月） 

▼内容証明郵便で賃貸借契約解除通知が届く（約3ヶ月） 

▼明け渡し訴訟が起こされる （約5ヶ月～7ヶ月） 

▼明け渡し訴訟が開始される  

また、少しづつでも支払いの意思がある場合は強制的な明け渡しはできません。  ポイントは「家主と借主の信頼関係が損なわれたか」です。
上記の通り基本的には３ヶ月程度では信頼関係が損なわれるとは言いがたく……  明け渡し訴訟を避けるためには、早め早めの督促で滞納を長期化させない事が1番の方法です。

何事も早期対応が肝心ですね！